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基于土拱发挥过程的非饱和砂土盾构隧道极限支护力计算方法研究

摘 要:利用楔形体模型计算非饱和砂土盾构极限支护力时,合理确定松动土压力至关重要。由于施工中受注浆及掘进参数影响,地层损失引起的土拱效应逐渐发挥,滑面上剪应力逐渐增大至抗剪强度,同时应考虑表观黏聚力对剪应力的贡献作用,而 Terzaghi 公式并不能体现这些因素。本文针对该问题,基于主应力偏转理论,推导了非饱和砂土不同位置的侧压力系数公式,结合表观凝聚力公式及试验数据,得到与基质吸力相关的分段形式的表观凝聚力表达式,进而推导出不同土拱效应发挥程度下的松动土压力及盾构极限支护力的计算公式。算例结果表明同一埋深下,不同饱和度土层中拱顶处松动土压力随土拱效应发挥而逐渐减小且均远小于自重应力。随着含水率的增大松动土压力存在一个阈值;在不同土拱效应发挥程度下,埋深越大,不同饱和度地层拱顶处松动土压力趋向不同的定值;盾构极限支护力公式计算结果亦存在同样规律,该结论将为非饱和砂土层盾构施工过程中土仓压力的合理设置提供理论指导,保证施工安全。 
0 引 言
  近年来城市轨道交通发展日新月异,在盾构掘进过程中,由于支护力设置不当常会导致前方土体出现坍塌或隆起现象,因此设定合理的支护力成为确保隧道开挖面稳定性的关键问题。针对开挖面稳定性问题,国内外学者进行了诸多研究,理论方法包括开挖面稳定系数法,塑性极限分析法,楔形体极限平衡分析法等;试验研究方面,汤旅军等通过砂土的离心模型试验证实,砂土隧道开挖面破坏时前方为楔形体、上部为棱柱体。由于基于弹塑性理论的极限分析法计算过程较为繁琐,很难应用于实际工程,而楔形体计算模型计算假定明确,概念清晰,因此在砂土盾构隧道极限支护力计算中得到广泛应用。
  利用楔形体模型计算开挖面极限支护力,关键因素是确定作用在楔形体上表面的松动土压力。针对浅埋盾构隧道的松动土压力计算,国内外学者提出了多种方法。Terzaghi通过 Trapdoor 试验证实了土体中存在拱效应,认为土拱效应源于土体的不均匀位移,其假定滑面处土体松弛部分的剪应力已达抗剪强度,即土拱效应完全发挥,并假设侧压力系数 K=1.0,根据极限平衡理论推导出土压力理论公式即太沙基松动土压力公式。不可否认在浅埋暗挖法隧道施工中,由于爆破、出渣、通风、立架、喷锚的时间间隔较长,可认为开挖面上方的土拱效应完全发挥,应用太沙基松动土压力公式较为适合。黎春林认为太沙基松动土压力直接用于盾构隧道中是偏不安全的,因盾构隧道与矿山法隧道施工工艺不同,在盾构隧道施工中,因盾壳保护、管片支护和同步注浆等因素,隧道拱顶位移将受到约束,土拱效应不能充分发挥。太沙基松动土压力公式规定侧压力系数 K=1.0,未考虑边界土体在发生位移时的主应力偏转,对于天然状态下的土体,大、小主应力分别为竖直和水平方向应力,实际上随着隧道开挖引起土体持续变形,主应力方向将逐渐发生偏转,这将引起侧压力系数变化,进而对隧道支护压力产生重要影响。陈若曦等基于主应力旋转理论建立了无黏性土侧向土压力系数表达式,修正了Terzaghi 松动土压力公式。Marston将土体侧压力系数 K 取为主动土压力系数,得到了与 Terzaghi 公式类似的松动土压力公式。Handy认为侧压力系数为与有效内摩擦角有关的定值。蔺港等基于土拱效应充分发挥,同时考虑土体主应力旋转,提出了基于基质吸力影响的侧压力系数和松动土压力公式。由于上述计算方法多为在土体干燥或饱和状态下考虑土拱效应建立的,与实际盾构隧道施工中常见的低含水率即非
  饱和状态下的土体特性存在较大差异,同时土拱效应的发挥过程是伴随盾构施工工序完成的,土体侧压力系数并非定值,实为与土体空间位置及施工工序相关的变化值。目前,研究非饱和砂土地层中因施工因素引起土拱效应部分发挥状态下盾构极限支护力计算方法还鲜有报道。
  因此本文以非饱和砂土盾构隧道极限支护力为研究对象,首先总结非饱和砂土的抗剪强度规律及计算公式,并以此为基础阐述非饱和砂土地层盾构隧道上覆土体主应力偏转过程,然后通过分析土体应力状态得到水平微分土层平均竖向压力与侧向压力和层间平均剪切力的定量关系,进而建立水平微分土层受力平衡方程以求解上覆土体竖向压力。并以开挖面前方滑移土体为研究对象,通过楔形体计算模型建立极限平衡方程,得到基于不同饱和度砂土在不同土拱效应发挥条件下的极限支护压力计算公式,并与以往计算方法结果进行对比,所得结论对类似工程有借鉴意义。
1 非饱和砂土抗剪强度计算方法讨论
  在我国北京、石家庄等北方城市,盾构施工中经常遇到无水或非饱和砂土地层,由于非饱和土的基质吸力产生的抗剪强度即表观凝聚力,对稳定隧道开挖面具有有利作用,而一旦由于降雨入渗或开挖引起地层不均匀沉降导致管线漏水等因素使砂土含水率大幅增加,由水土特征曲线可知,基质吸力将随饱和度的提高而降低,导致非饱和砂土的抗剪强度降低,如施工中不能及时调整土仓压力,可能会引发开挖面出现坍塌事故。
  目前国内外学者提出的非饱和土抗剪强度的公式,主要是通过将基质吸力的影响加入摩尔-库仑强度公式发展而来,摩尔-库仑抗剪强度公式见式(1)所示:
  Bishop 将基质吸力对抗剪强度的影响视为一部分有效应力,将土体中的有效应力进行叠加,而 χ 值的物理意义不明确且难以求得,因此该公式实际应用较为困难。Fredlund 等以非饱和土正应力与基质吸力作为变量提出了抗剪强度公式(3):
  林鸿洲等通过进行非饱和土的压力板仪和直剪仪试验,研究了击实土抗剪强度和饱和度的关系,认为非饱和砂土的凝聚力随基质吸力先增大后减小,在饱和度为 40%~60 %时最大,内摩擦角则随饱和度增加稍有下降。
  董倩等通过对非饱和砂土直剪试验和微观土体颗粒结构分析两方面进行研究,证明粉质砂土的抗剪强度随基质吸力的变化存在一个阈值,阈值由粉质砂土微观结构所决定。
  Fredlund 等认为φb一般都小于或等于φ′,并给出了如图 1 所示非饱和土抗剪强度包面的直观模型,图中纵坐标为剪应力,横坐标分别为净法向应力(φ-ua)和基质吸力(ua-uw)。可见,该破坏包面为一平面,相应地,φb为一恒定值。
  文献的试验结果表明,基质吸力与非饱和土抗剪强度呈非线性相关,φb与基质吸力之间存在着非线性关系。Fredlund 等研究表明,基质吸力小于进气值时,φb=φφ;基质吸力大于残余基质吸力时,φb=0;基质吸力在进气值和残余基质吸力之间时,φb随基质吸力的增加而减小,该阶段为过渡段,为简化分析,设φb在过渡区随基质吸力线性减小。φb值随基质吸力变化曲线如图 1 所示,本文引用文献的试验数据进行推导论证。 
  对于非饱和砂土的表观凝聚力可用公式 cb=(ua-
  表观凝聚力随基质吸力(ua-uw)变化(即饱和度的变化)曲线如下图 2 所示,可以看出,表观凝聚力 cb随基质吸力(ua-uw)变化分为三阶段,第一阶段为线性增加部分,即基质吸力在达到进气值前,由于 φb=φ'随着基质吸力的线性增加,表观凝聚力cb亦呈线性增加;第二阶段为非线性阶段,该阶段表观凝聚力与基质吸力关系呈二次抛物线关系,表观凝聚力值对应文献中主要过渡区与次要过渡区,表观凝聚力呈现为先增加后减小的趋势,在基质吸力达到残余吸力值时,表观凝聚力降为 0;第三阶段表观凝聚力为 0,这三个阶段基本上可以反映出文献试验中非饱和砂土表观凝聚力在一定含水率范围内存在一个阈值的结论。
2 非饱和砂土松动土压力计算讨论
2.1 非饱和砂土侧压力系数的讨论
  文献通过砂土的 Trapdoor 试验,监测了模型箱内不同位置应力变化,得到不同位置处侧压力系数不同的结论,侧压力系数随着滑板下移呈现出中线处大于 1.0 且向两侧递减的正态分布形式。下图 3 为中线处土单元体应力状态随着拱顶下沉量增大的变化过程,隧道开挖前,地层中土体处于静止土压力 K0状态,竖向应力σv为大主应力σ1,水平应力σh为小主应力σ3,根据弹性理论此时的侧压力系数 K=ν/(1-ν),对于砂土可用经验公式 K=1-sinφ'表达。隧道开挖后,拱顶下沉量随地层损失而增大,土拱效应逐渐发挥,中线处土单元的平均竖向应力和水平应力均减小,莫尔圆逐渐向左移动,这一过程中竖向应力的减小幅度远超水平应力减小幅度,从图 3 莫尔圆可以看出中线处土体主应力轴方向发生了旋转。当隧道拱顶下沉量达到一定值后,中线处大小主应力会出现相等的情况,即水平向正应力 σh等于竖向应力 σv,此时莫尔应力圆退化成一点,此时达到太沙基松动土压力 K1 状态,侧压力系数 K=1.0,随着土拱效应的进一步发挥,土单元体达到了极限平衡状态,分析土体单元受力过程可知,剪应力 τ 随隧道拱顶下沉量的增加从 0 逐渐增大到抗剪强度 τf,此时为 Kh状态,因此可以用 O1A 与 x 轴所成的角度 α 来反映土体剪应力的变化情况,即 α∈[0,φ']。同时在莫尔圆上该点与小主应力点的连线与应力主轴成 θ 角度,由以上分析可知,土中应力状态从静止土压力 K0 状态到 K1状态,再到极限 Kh 状态,θ∈[45°+φ'/2,90°]。 
  由应力圆的几何关系,可知中线处土单元体的竖直向应力、水平向应力和剪应力分别为

  从上式(14)可以看出,中线处侧压力系数 Kz 是与重度 γ、埋深 z、被动土压力系数 Kp、主应力偏转角度 θ,剪应力增加角度 α、表观凝聚力 cb,有效内摩擦角 φ'相关的隐性表达式,公式(14)中的参数φ 为本文假定的与饱和度相关的参数,与前述公式(2)中的参数定义不同。
  同理,可以分析出滑动面处的侧压力系数 Kb的表达式,文献试验结果表明在滑动面处侧压力系数Kb小于 1,即在滑动面处的主应力偏转角度有限,分析滑动面处一点 A 的受力,可知 σ'v>σ'h,下图为滑动面处点 A 的应力莫尔圆,当主应力旋转后大主应力作用面与竖直面呈 θ 角时,对于非饱和砂土而言,由于存在表观凝聚力 cb,可采用坐标平移法求解,即将纵坐标向左移动 cb·cotφ'个单位,剪切应力可表达为:
  式中:τ 表示滑动面处一点的剪应力;σ'h、σ'v 分别为原坐标系滑动面水平向、竖向正应力;Ka=tan2(45°-φ'/2),为朗肯主动土压力系数;φ'为土体有效内摩擦角;cb为表观凝聚力;σ''h、σ′'1 及 σ''3分别表示在新坐标轴下滑动面处土体一点的水平正应力及大、小主应力。θ 为大主应力作用面与水平应力作用面的夹角,为一变量,代表土拱效应的发挥程度。由莫尔圆可知,θ 的范围应满足 θ′≤ θ ≤ 90°。即当 θ=90°时,主应力未发生旋转,即没有产生土拱效应,当 θ=θ′=45+φ'/2 时,表示此时土拱效应已经充分发挥,达到极限状态。下面求解平均松动土压力 σ''v,假定隧道顶部土拱曲线为圆弧形,平均松动土压力 σ''v 为土拱曲线上总的竖向力与宽度之比,可用下式(20)求解。
  由上式可知非饱和砂土滑动面处的剪应力是随土拱效应逐渐发挥而不断增大到抗剪强度的,滑面处的侧压力系数 Kb 与砂土有效摩擦角及土拱发挥程度有关,从公式中可以看出 Ka、θ 及 α 是影响侧压力系数的关键参数。
由上式(14)及式(24)可知,随着 Trapdoor 位移增大,滑动区域内土体主应力方向发生偏转,且中线处和滑动面处的土体侧压力系数表达式不同,数值上呈现出从中线处向两侧减小的趋势。
2.2 非饱和砂土松动土压力计算公式推导
  Terzaghi 假定侧压力系数 K=1.0,文献认为粘性土侧压力系数为与凝聚力、摩擦角、埋深、重度等有关的隐性表达式,文献则认为无粘性土侧压力系数为与内摩擦角有关的定值。实际上当隧道开挖时,土体侧压力系数为与盾构掘进参数相关的变量,其数值与土拱的发挥程度相关。假设分析模型如图 5 所示,假定:①隧道开挖导致拱顶下沉时,其上面积 1234所围成的土体也随之整体下移,而其余土体不动。②滑动面 14 和 23 为竖直滑动面,滑动面两侧土体可认为相对不动。③随着拱顶下沉量增大,滑动面 14 和23 上的剪应力由 0 增大到抗剪强度 τf,滑动面上摩擦力亦逐渐增大,土拱效应亦逐渐发挥,最终达到Mohr-Coulomb 极限平衡状态。 
  如图 5 所示,根据水平微分土条竖向受力平衡可建立如下式(26)的微分方程,此时式中 τ 为随隧道拱顶下沉量变化的滑动面处剪应力,而非抗剪强度。式中,φ为土体重度,z 为土体埋深,B 为滑动土层宽度,即土拱跨度,见式 27。 


  该式与太沙基松动土压力公式形式类似,不同的是考虑了基质吸力(ua-uw)对表观凝聚力 cb的贡献,而 θ 与盾构施工因素相关,如掘进过程中的地层损失、注浆效果、管片刚度等因素均与土拱效应的发挥相关,同时在基质吸力超过一定值后松动土压力退化成与文献中提出的类似公式,只是其中参数 M 不同。
2.3 地层损失率与土拱效应发挥关系
  非饱和砂土松动土压力公式(41)中 M 是重要参数,土拱效应发挥与之相关,M 越大土拱效应发挥则越充分,随着埋深增加,土中竖向应力减少越快,水平向应力相对增加。θ 取决于盾构开挖过程中的地层损失率,即拱顶下沉 S 的大小,可由下面的方法确定,见图 6 所示,可以得到方程(42)
  由上式(27)可知土拱效应发挥角度与拱顶下沉量呈递减关系,拱顶下沉量越大,则主应力旋转角度越大,土拱效应发挥越充分。 
3 非饱和砂土盾构松动土压力计算算例
  算例:某盾构隧道穿越非饱和砂土地层,直径 6.2m,埋深 25 m,利用文献的试验数据,取基质吸力进气值为 8.8kPa,残余吸力值为 60 kPa,假设 ua-uw<8.8kPa 时,φb=φφ;ua-uw>60 kPa 时,φb=0;基质吸力处于过渡区时,0<φb<φφ呈线性减小。砂土干重度 γ=18kN/m3,设土的有效内摩擦角φ'φ38°,可得对应的主动土压力系数 Ka=0.24,设对应的饱和度变化区间为0~1,假设地面无超载即 q=0 kPa,引入非饱和松动土压力计算公式,即可得下式(43)
  计算中土拱效应发挥角 θ 取[45+φ/2,90],对应土拱效应从 0 到完全发挥,在不同饱和度及拱顶位移下,松动土压力与原始地应力之比见图 7 所示,土压力量值如图 8 所示。可知随土拱效应的逐步发挥,不同饱和度下松动土压力均迅速减小,且减小趋势呈非线性变化,松动土压力减小速率变缓。同时饱和度不同时,随着土拱效应的逐步发挥,松动土压力减小的趋势一致,但随饱和度的提高土压力减小量值幅度不同,这与不同饱和度下土的天然重度不同有关,同时体现出表观凝聚力随土体饱和度变化而变化的规律。
  随着隧道埋深增加,作用在拱顶处的松动土压力量值随着饱和度不同及土拱效应发挥程度不同也不同,由图 9-图 10 可看出,考虑表观凝聚力在不同饱和度及土拱效应发挥程度下,松动土压力值均大于太沙基松动土压力公式计算值,在达到表观凝聚力阈值的含水率条件下,松动土压力计算值接近黎春林公式计算值,且两公式计算差值随着拱效应发挥程度增加而增加,不同饱和度及土拱发挥程度下的松动土压力在埋深增大时均趋向稳定值。

4 非饱和砂土开挖面极限支护力公式
  楔形体计算模型失稳破坏模式由开挖面前方楔形体及其上部棱柱体组成,如图 11 所示。由受力平衡可知作用于楔形体上的力包括:

  通过对开挖面前楔形体滑块的受力平衡来确定最小支护压力。由楔形体水平向和竖向受力平衡可得下式:
  从上式可知,开挖面极限支护力 P 是与非饱和土体的有效内摩擦角、基质吸力、土体的重度、隧道的截面尺寸、与拱顶下沉量相关的土拱效应发挥程度的系数 θ、楔形体土体自重 G、楔形体破裂角β,楔形体所处的地层的土压力系数 K 相关的表达式。
5 结论
  (1)表观凝聚力随基质吸力的变化分为三阶段,第一阶段为表观凝聚力随基质吸力线性变化部分,为线性增加部分,第二阶段为非线性阶段,表观凝聚力与基质吸力关系呈二次抛物线关系,呈现为先增加后减小的趋势;第三阶段表观凝聚力为 0。非饱和砂土的表观凝聚力在一定含水率范围内存在一个阈值。
  (2)随着 Trapdoor 位移增大,土拱效应逐步发挥,滑动区域内土体主应力方向发生偏转,且中线处和滑动面处的土体侧压力系数表达式不同,其值不是定值,且呈现出从中线处向两侧减小的趋势。中线处侧压力系数 Kz 是与 γ,z,Kp、θ,α、cb,有效内摩擦角 φ'相关的隐性表达式,滑动面处剪应力随土拱效应发挥逐渐增大到抗剪强度,滑面处的侧压力系数 Kb与 Ka、θ 及 α 相关。
  (3)考虑土拱效应不同程度发挥条件下的非饱和砂土松动土压力计算公式,在土拱效应未发挥时,公式转化为原始地应力公式;当土拱效应完全发挥时,转化为与太沙基松动土压力公式形式类似的公式,该公式考虑了基质吸力对表观凝聚力 cb 的贡献,当基质吸力超过一定值后松动土压力退化成黎春林提出的土压力公式。
  (4)非饱和土层中隧道支护上所受土压力远小于上覆自重,且减小的程度与土拱效应的发挥有关系;同时对应表观凝聚力曲线,不同含水率下隧道支护所受松动土压力不同,松动土压力在基质吸力达到进气值时存在一个最小值。 
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