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地面堆载诱发下既有盾构隧道纵向变形的解析解

摘要:为研究地面堆载作用对既有盾构隧道纵向变形的不利影响,将既有盾构隧道简化为置于 Pasternak 地基上的 Timoshenko 梁(定义为 T-P 模型),通过理论推导得到考虑盾构隧道剪切效应和地基剪切刚度的地面堆载诱发下,既有盾构隧道纵向变形的解析解。
  研究结果表明:
  1)与其他模型计算结果相比,在实测数据的最大值附近,T-P 理论模型计算结果与实测数据更为吻合,从而验证该模型的可靠性。
  2)在隧道纵向变形计算上,T-P 模型相比常用 Euler-Bernoulli 梁模型计算结果较大,而稍小于 T-W 模型计算结果,更接近实际监测数据; 在内力计算上,Euler-Bernoulli 梁模型计算结果较大,常用的 EB-W 模型弯矩、剪力最大值均为 T-P 模型的 1. 3 倍。
3)随着隧道与堆载中心水平距离的增大,隧道竖向变形减小;提高土层弹性模量以及隧道等效抗弯刚度可以有效减少隧道竖向变形;当等效剪切刚度超过一定数值后,隧道变形趋于稳定。

0 引言
  随着社会经济的持续发展,城市地下轨道交通网络不断完善,紧邻既有地铁线路的建筑施工越来越多,由此引发的地面堆载对既有隧道的影响问题日益突出。 根据相关统计,仅2014年上海地区地铁沿线地面突发堆载达到 16 次 。地面堆载将引起下部土体沉降,使得隧道结构产生较大变形,严重时将造成螺栓断裂、管片局部开裂等病害,对地铁隧道运营安全危害极大。
  目前地面堆载对临近盾构隧道影响的研究方法主要有现场监测、理论解析 、数值模拟、室内模型试验等。 其中理论解析法概念明确,计算简便,因而得到广泛应用。 在理论计算研究方面,主要有2 种思路:一种是将隧道视为置于地基模型上的连续梁,如李春良等考虑了接头对隧道抗弯刚度的影响,建立盾构管片的纵向梁模型,并分析了影响隧道力学行为的各种因素;戴宏伟等基于文克尔地基梁模型,研究了施工荷载对临近隧道的影响;璩继立等把隧道等效为双面弹性地基梁,运用有限差分原理解出隧道的纵向变形和内力,并对比 Winkler 地基梁模型计算结果等将盾构隧道简化为置于Winkler 地基上的 Timoshenko 梁,并计算了盾构隧道的纵向变形及内力。另一种是将盾构隧道视为完全离散的弹性地基短梁,如魏纲等基于剪切错台模型,解得隧道纵向位移以及相邻管片环之间的错台量;建立同时考虑管片剪切错台和刚体转动的隧道变形模式,运用最小势能原理推导出盾构隧道纵向变形以及内力计算公式。
  第 1 种研究思路隧道结构变形原理明确,概念清晰,易于理解,因而得到广泛应用;而第 2 种研究思路虽然更能反映盾构隧道实际变形模式,但由于基于能量法,概念较复杂,计算繁琐,且环间剪切刚度等参数的确定存在问题,因此相关应用还不多。
  本文延续第 1 种研究思路,将隧道视作置于地基模型上的连续梁,导出变形微分方程进行求解。不难发现,现有计算方法基本是将盾构隧道简化为置于 Winkler 地基上的 Euler-Bernoulli 梁。Euler-Bernoulli 梁忽略剪切变形,但实际工程中,盾构隧道是由管片与螺栓组成的复合结构物,盾构隧道不仅发生弯曲变形,而且还发生剪切错台变形。因此,Euler-Bernoulli 梁的适用性受到极大限制。虽然考虑了隧道的剪切效应,却仍采用传统的Winkler模型作为地基模型,Winkler模型仅含1个参数,尽管运算简便,但忽视地基连续性,不能反映实际变形情况。 

  针对以上不足,本文基于现有研究,考虑连接螺栓的存在对隧道整体剪切刚度的减弱,以及地基变形的连续性,把盾构隧道简化为置于 Pasternak 地基模型上的 Timoshenko 梁 ( 本文中定义为T - P 模型)。Timoshenko梁具有 2 个广义位移,能够真实反映梁在剪切作用下的变形特性;同时,Pasternak 地基克服了 Winkler 模型的缺陷,通过加入剪切刚度为Gs 的剪切层,考虑传统地基弹簧之间的相互作用 ,能够反映地基连续性。相比之前常用的计算模型,本文T-P模型更符合盾构隧道实际受力、变形情况。根据上述模型导出地面堆载作用下临近盾构隧道竖向变形的微分控制方程,运用有限差分原理解得其数值解。之后,对比分析理论计算结果与实际监测数据,以验证模型的适用性。最后,通过参数分析研究隧道变形对于各影响因素的敏感性。
1 隧道纵向变形计算模型建立
1. 1地表堆载
  引起既有隧道附加荷载计算
1. 1. 1建立地面堆载
  力学模型图1示出地面堆载与既有盾构隧道位置关系。
1. 1. 2 采用 Boussinesq 解计算附加应力
  依据Boussinesq 公式,积分可得地面堆载作用下隧道轴线上某点的附加应力:
  式中:Ω 为地面堆载积分区域;p 为堆载的大小;R 为控制隧道与荷载相对位置的参数:
  式中(ξ,η)和(X,Y,z0)分别为地面堆载范围内一点、隧道轴线上某点在全局坐标系ξ-η下的坐标。为简化计算,建立局部坐标系x-y、坐标原点为隧道轴线上一点,x 轴与隧道轴线重合,y轴垂直于隧道轴线;全局坐标系与局部坐标系原点水平距离为d,ξ轴与x 轴夹角为 α,ξ轴与两坐标系原点连线夹角为β。 则由几何关系,可得两坐标系之间的转换关系为:
1. 2 基于 T-P 模型的既有盾构隧道纵向变形推导
  本文假定盾构隧道为置于 Pasternak 地基模型上的 Timoshenko梁(T-P 模型),计算模型如图 2 所示。
  根据 Timoshenko 梁理论,可得梁弯矩 ML 和剪力 QL:
  等效抗弯刚度;θ为梁截面转角。
  在竖向分布荷载q(x)作用下,基于本文模型,根据微元体竖向受力平衡方程和弯矩平衡方程,可得盾构隧道竖向变形w(x)的微分控制方程:
  同时,还可以得到隧道剪力 Q 和弯矩 M 的微分控制方程:
  求解式(7)即可得到在地面堆载 p 引起的附加荷载 q(x)作用下既有盾构隧道的纵向变形,运用有限差分原理求其数值解。
  将隧道分成 n 段,每段长为 l′,隧道两端分别有 2个虚节点,这样隧道离散为 n+5 个节点单元,如图 3所示。
  基于有限差分原理,即可得微分方程式(7) 的有限差分形式:
  假定隧道两端自由,则有边界条件:隧道两端的弯矩 M 及剪力 Q 为 0。 结合边界条件,式(10)即可写成以隧道竖向变形w 为未知数的矩阵-向量表达式:
  K1 [ ] -K2[] + K3{[ ] } {w} = Q1 { } - Q2 { } - Q3 { } [14] 。(11)
  式中:{[K1 ]-[K2 ]+[K3 ]}为常系数刚度矩阵;{w}为隧道的竖向变形列向量;{Q1 }为附加荷载列向量;{Q2 }为附加荷载修正列向量;{Q3 }为补充列向量。
  在已知地面堆载的情况下,即可求得盾构隧道的纵向变形,进一步还可求得盾构隧道内力(弯矩和剪力)及变形(管片错台量和接头张开量)的纵向分布。
2 相关计算参数确定
2. 1隧道等效抗弯刚度
  目前,广泛采用 Shiba 等建立的竖向等效连续化模型,其等效抗弯刚度(EI)eq 表达式为:
  式中:Ec 为管片弹性模量;Ic 为隧道截面惯性矩;ψ为隧道断面中性轴位置,ψ 的计算表达式为:
  式中:kb 为接头螺栓的平均线刚度(kb= EbAb/lb;其中 Eb 为螺栓弹性模量;Ab为螺栓的横截面积;lb为螺栓长度); ls 为环宽;Ac 为隧道管片截面积;n为螺栓个数。
  管片接头张开量 O 与弯矩 M 有关,根据几何关系,计算公式可以表示为:
2. 2 隧道等效剪切刚度
  WU H. N. 等给出盾构隧道等效剪切刚度(κGA)eq 的计算公式为:
  式中:ζ 为修正系数;κb 和κc分别为螺栓及管片环Timoshenko 剪切系数,分别取 0. 9、0. 5;
  Gb 和Gc分别为螺栓和管片的剪切刚度:
  式( 16)—( 17) 中 νb 和 νc 分别为螺栓及管片的泊松比。
  根据几何关系,WUH.N. 等进一步推导出了管片错台量C的计算公式:
2. 3 Pasternak 地基相
  关参数Pasternak地基模型在传统Winkler模型基础上增加1个剪切刚度为Gs的剪切层,能够考虑地基弹簧的相互作用。Pasternak地基模型基床反力可表示为:
  式中:p′为Pasternak模型基床反力;k为基床反力系数;w(x)为地基变形量;Gs为地基剪切刚度。Tanahashi建议采用以下经验公式来估算Pasternak 地基剪切刚度:
  式中:Es为土的弹性模量;ν为土的泊松比;ht为Pasternak模型中变形影响深度,徐凌经过研究指出,在分析土-隧道相互作用时,ht取2.5 倍隧道直径Dt。Vesic建议置于地表上的长梁地基反力系数表达式为:
  Attewell等建议采用2倍kVesic数值,大致估算出具有一定埋置深度地基梁的基床反力系数,即: 
  本文采用Attewell 等的建议,利用式(22)计算Pasternak地基的基床系数。
3实例验证
3. 1 工程概况
  小涞港河道位于上海地铁9号线某区间盾构段正上方,两者位置关系及相关参数如图4所示。由于附近工程施工,河道内回填土方。回填土的高度为4. 5m,回填土重度γ=17kN/ m3,回填土重力荷载将导致下方盾构隧道产生不均匀沉降。计算中考虑河道水位降低1m的影响。隧道断面所在土层性质如表1所示,上海地区盾构隧道管片结构参数表2所示。

3. 2 计算结果分析
  图 5 示出几种理论模型计算结果与实测数据的对比。 由图 5 可知:4 种理论模型计算结果相近,在河道堆载作用下,盾构隧道竖向变形呈正态分布,隧道中心处竖向变形最大,向两边逐渐减少。 隧道竖向变形主要发生在河道加载中心两侧 40 m 范围内,为 3 ~ 4 倍的加载宽度,这与文献[27]的研究结论相符。 采用本文提出的 T-P 模型,隧道最大竖向变形为 27. 6 mm;EB-W 模型(置于 Winkler 地基上的 Euler -Bernoulli梁)计算结果稍小,为 26. 7 mm;EB - P 模型( 置于Winkler 地基上的 Pasternak 梁) 计算结果最小,为26mm;康成等采用的 T-W 模型计算结果最大,为28. 4 mm。
  究其原因,本文提出的模型基于Timoshenko 梁单元,能够考虑盾构管片螺栓接头对隧道整体剪切刚度的削弱,因此计算结果相比常用的Euler-Bernoulli 梁模型较大。 此外,本文 T-P 模型虑了传统地基弹簧之间的相互作用,能够反映地基变形连续性,因此计算结果稍小于 T-W 模型。 根据 T-P模型和 EB-W 模型得到的隧道最大竖向变形均大于EB- P 模型,但前者数值更大,表明理论模型采用Timoshenko 梁单元相比 Pasternak 地基,对盾构隧道竖向变形性能影响更大。
  从图5 中还可以发现,在河道加载中心两侧 20m范围内,几种理论模型所得隧道竖向变形分布与监测数据均大致吻合,但在实测数据的最大值附近,本文理论模型计算结果相比其他模型更接近实测值。
  本文模型相比其他几种常用的计算模型,还可以进一步得到盾构隧道管片错台量,从而更准确地描述盾构隧道的复合结构形式。 此外,在距加载中心 20m 范围外,实测变形比包括本文方法在内的几种模型计算结果都大得多,分析原因,在实际工程中,距离地面堆载较远的盾构隧道会受到堆载之外的其他因素的影响,也会产生一定的变形量。图6 给出了采用几种理论模型计算得到的隧道纵向弯矩、剪力、接头张开量及管片错台量对比图。由图6 可知:基于Euler-Bernoulli梁的2种模型计算结果相近,而本文T-P模型与康成等采用的T-W模型计算结果更为相近。 Euler-Bernoulli 梁由于不能考虑管片螺栓接头的存在而导致的隧道整体刚度的削减,内力计算结果较大;常规EB-W模型计算所得弯矩、剪力最大值为本文T-P模型的1.3倍,亦为T-W模型的1. 2倍。 对比EB-W和EB-P模型计算结果,以及T-W和T-P模型计算结果,Pasternak地基模型因剪切层的存在,能够考虑地基连续性,因此基于Pasternak地基的模型相比基于传统Winkler地基的模型,计算得到的隧道纵向内力较小。此外,通过分析图6(a)和图6(b)还可以发现:隧道最大正弯矩(下侧受拉为正)位于堆载中心,而隧道最大负弯矩位于堆载中心两侧1倍加载宽度(±24m)处,最大正弯矩约为最大负弯矩的2.3倍;隧道最大剪力出现在堆载边界(±12m)处。 这几个截面均较危险,实际工程中应给予足够重视。
  由图 6(c)和6(d)可知,接头张开量、管片错台量分布图分别与隧道弯矩、剪力分布图变化趋势一致,其原因为接头张开量、管片错台量分别由隧道弯矩、剪力控制(式(14)和式(18))。 根据图6 (d),2 种基于Euler-Bernoulli梁的计算模型假定盾构隧道剪切刚度无穷大,不考虑剪切效应,因此无法计算管片错台量;而本文T-P模型及T-W模型所得管片错台量最大值差别较小,约为0.5mm,位于隧道最大剪力出现位置,即堆载边界(±12m)处,可见Timoshenko梁模型更接近隧道变形的真实状态。
  根据本文模型算得接头最大张开量为0.7mm,略小于Euler-Bernoulli模型计算结果0.8mm。4 影响因素分析为了分析盾构隧道竖向变形与几个关键变量之间的关系,建立下述工程案例:在地面进行堆土施工,简化堆土为矩形均布荷载,其大小为p=100kPa,矩形荷载长 l = 24m、宽B=50m,堆载中心到隧道轴线的距离为 d(水平方向),隧道深度z0=10m,堆载与隧道位置关系如图 1 所示。
隧道相关参数如前文所述,隧道等效抗弯刚度(EI)eq=7.8×107kN·m2,等效剪切刚度(κGA)eq=2×106kN/ m。
  土层弹性模量为Es= 10MPa,泊松比ν =0.33。
4. 1 荷载位置的影响
  图7 示出堆载与隧道之间水平距离d对隧道竖向变形 w 的影响。可以看出,当地面堆载位于隧道正上方时,隧道竖向变形最大,变形最大值达到33.2mm;随着距离d 的增大,隧道竖向变形逐渐减小,即地面堆载距隧道轴线越远,对隧道变形影响越小。 当d≥0. 7B(B = 50m)时,地面堆载对隧道竖向变形影响较小,隧道最大竖向变形此时仅为 2. 6 mm。 现行 GJJ/ T202—2013《城市轨道交通结构安全保护技术规范》规定建设施工导致的“隧道竖向变形的预警值为10mm,控制值为 20mm”。 由图 7 可知,当d≤0.4B(B=50 m)时,隧道最大竖向位移w>20mm,超过了规范限值,存在安全隐患,应在施工过程中予以重视。 此外,隧道竖向变形(沿轴线)主要集中在隧道轴线两侧±40m(3~4 倍加载宽度),地面堆载对隧道轴线两侧 40 m范围以外的隧道结构影响很小,基本可以忽略。
4. 2 土层弹性模量的影响
  图 8 示出土层弹性模量Es 对隧道最大竖向变形wmax 的影响。 本文理论计算基于 Pasternak 地基模型,Pasternak 模型中2个关键参量基床反力系数k 和地基剪切刚度Gs均由土层弹性模量Es导出。
由图 8 可得,随着土层弹性模量提高,隧道最大竖向变形不断减小,这是由于土层弹性模量的增大使得基床反力系数k 和地基剪切模量Gs 都变大,地基刚度增强,因而隧道变形量减小。 此外,从图 8 中还可以发现,当Es≤14MPa 时,随着隧道所在土层 Es 的提高,隧道变形量显著减小,即当土层较软弱时,隧道变形对土层弹性模量的增大响应明显。实际工程中,可以采取通过对土层进行人工加固的方法减小堆载对隧道结构变形的影响,软土地区的加固效果更突出。 
4. 3 隧道等效抗弯刚度和等效剪切
  刚度的影响图 9 示出隧道等效抗弯刚度(EI)eq和等效剪切刚度(κGA)eq 对隧道最大竖向变形 wmax 的影响。 由图 9可知,在等效抗弯刚度一定的情况下,随着等效剪切刚度(κGA)eq的增大,隧道最大竖向变形不断减小,但当(κGA)eq 超过2×106kN/ m后,隧道最大竖向变形变化很小;当(κGA)eq趋于无穷大时,本文T-P 模型退化为不考虑盾构管片接头对隧道整体刚度削弱的 EB-P模型,此时隧道最大竖向变形将达到最小值。可见,一味增大管片接头处剪切刚度并不能有效减小隧道竖向变形。 由图 9 还可以发现,在隧道等效剪切刚度(κGA)eq 一定的情况下,随着隧道等效抗弯刚度(EI)eq的增大,隧道最大竖向变形不断减小。
  相较于等效剪切刚度(κGA)eq,等效抗弯刚度(EI)eq的增大对隧道竖向变形的影响更为显著。
5 结论与讨论
  1) 本文将盾构隧道简化为置于双参数 Pasternak地基上的 Timoshenko 梁(T-P 模型),T-P 模型可以考虑盾构隧道的剪切变形效应以及地基变形的连续性,能够得到堆载引起的隧道纵向变形,以及隧道纵向弯矩、剪力、接头张开量和管片错台量的分布。
  2)对比实际工程监测数据与理论模型计算结果,在实测数据的最大值附近,本文理论模型计算结果相比其他模型计算结果与实测数据更为吻合,从而验证了本文模型的可靠性。
  3)在隧道纵向变形计算上,本文提出的T-P模型相比常用的Euler-Bernoulli梁模型计算结果较大,而稍小于T-W模型计算结果,更接近实际监测数据;在内力计算上,Euler-Bernoulli梁模型计算结果较大,常用的 EB-W 模型弯矩、剪力最大值均为本文 T-P 模型的 1. 3 倍。
  4)参数分析发现,盾构隧道的变形受地面堆载相对位置、土层弹性模量以及隧道等效抗弯刚度影响较大,随着堆载与隧道之间水平距离、土层弹性模量以及隧道等效抗弯刚度的增大,隧道竖向变形逐渐减小;而盾构隧道的变形对隧道等效剪切刚度的变化不敏感,当等效剪切刚度超过2×106kN/ m时,隧道最大竖向变形随等效剪切刚度的增加变化很小。
  由于技术所限,目前还缺少隧道纵向受力的相关监测数据,因此,本文只是将基于理论模型的隧道受力结果与其他模型隧道受力结果进行横向对比分析,而缺少与实测数据的对比,这部分内容还有待做进一步的研究。 

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