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地铁盾构管片姿态的水平偏差算法研究

黄志伟
成都市勘察测绘研究院

随着多个城市掀起地铁轨道交通建设热潮，盾构施工以其环保、高效、安全等优势被建设和施工单位广泛的应用。盾构掘进过程中，刚拼接装的管片受注浆加固、盾构机实时姿态误差及地质条件的影响，经常发生管片位移现象，若忽视盾构掘进中成型管片姿态的重要性，没有及时发现掘进偏差并加以有效纠偏的话，容易发生成洞隧道偏离设计轴线较大的质量事故，轻者修改设计进行调线调坡，重者二次改造，这势必会对业主方与施工方造成无法挽回的损失与影响。《成都地铁工程施工测量管理细则》关于管片姿态偏差，警情等级划分黄（（５０，１００］ｍｍ）、橙（（１００，１５０］ｍｍ）、红（大于１５０ｍｍ）３类，并规定对应的处置要求。为了控制管片位移超限，提高控制测量精度的同时，通过每天的管片姿态测量，实测出管片的位移趋势，及时采取措施尽量减小位移量，并起到复核盾构导向系统的作用。管片姿态的测量频率高，重复作业量大，尤其是水平偏差，控制难度大，计算较为复杂传统的方法通常将管片姿态测量点的实测坐标展点至ＡＵＴＯＣＡＤ线路平面图中，量取各点到线路设计中线的垂线距离，然后根据设计文件信息进行计算得到水平偏差值及里程。该方法人工干预大内业耗时，而且容易出现多值性情况本文介绍一种利用平面线形设计参数、隧道中线与线路中线偏差、长短链等设计文件自动计算管片姿态处对应水平偏差及里程的方法，并通过程序实现对地铁线路的管片姿态水平偏差的计算，以验证数学模型的正确性及实用性。
１盾构管片姿态的测量方法
结合盾构机的掘进进度，施工单位、监理、第三方测量需要按照要求进行管片姿态的测量，管片姿态测量的目的是获得待测环管片环心的平面坐标和高程值，进而与设计值比较计算出偏差值。测量方法一般采用极坐标测量或者自由设站法，具体操作流程一般是先将铝合金管尺水平放置在待测的某一环管片上，且铝合金管尺与环缝对齐，再将水平尺放在铝合金管尺的中央，将铝合金管尺调平此时贴在铝合金管尺中点处的反射片原则上就与待测环管片的中心在同一铅垂线上，待测环管片中心平面坐标即反射片坐标。环管片中心的高程值可通过三角高程得到反射片中心高程值或者几何水准测量管尺处的顶、底板高程并结合管片结构间接得到，如图１所示。

２管片姿态测量点的水平位移偏差的计算
结合线路的平面线形设计文件，先通过分析与５桩点的距离和方向判断测量点在线路中的具体位置，然后推导出姿态测量点在直线段、圆曲线段及缓和曲线段对应里程和水平偏差的数学模型，最后根据隧线中线关系及长短链进行里程与偏差的改正。
2.1隧道施工中线与线路设计中线的关系
管片姿态测量点的水平偏差是测点与隧道施工中线的差值，需知道隧道施工中线与线路设计中线的关系，以便进行偏差的计算。在直线段，隧道中线与线路中线重合。在曲线段，地铁运行受超高的影响，车体向曲线内侧倾斜，从而曲线段隧道断面内尺寸加大。为了减少曲线隧道开挖断面工程量降低成本，设计单位将设计中线向曲线内侧偏移某一个量Ｍｖ，圆曲线的偏移量大小都等于Ｍｖ，隧道中线偏移量应在缓和曲线范围内平顺变化，任意里程的偏移量与该点到直缓点（缓直点）的曲线长成比例。
2.2姿态测量点在直线段水平偏差及里程的计算方法
设管片姿态测量点Ｐ（ＸＰ，ＹＰ），点Ｐ对应线路中线点Ｐ０，所求的水平偏差为ｄ，对应线路中线的里程为ｋ。直缓点或缓直点的坐标为（Ｘ０，Ｙ０），过该点直线段的坐标方位角为Ａ０，则该段直线的点斜式方程为：Ｙ－Ｙ０＝Ｋ１（Ｘ－Ｘ０）．（１）式中：Ｋ１为直线的斜率，Ｋ１＝ｔａｎＡ０。过Ｐ，Ｐ０
两点的直线的点斜式方程为：Ｙ－ＹＰ＝Ｋ２（Ｘ－ＸＰ）．（２）由于点Ｐ０是点Ｐ到线路中线的最近点，故两条直线互相垂直，Ｋ１×Ｋ２＝－１。联合求解式（１）和式（２），解得的未知数Ｘ，Ｙ就是所求点Ｐ０的坐标，进而求得点Ｐ与点Ｐ０之间的距离即为水平偏差ｄ和Ｐ０的里程。若该测段有长短链则进行里程改正。
2.３姿态测量点在圆曲线段水平偏差及里程的计算方法
如果点Ｐ在曲线段，则需要判断Ｐ点在缓和曲线段内还是圆曲线段内。首先通过桩点及交点进行坐标转换建立曲线独立坐标系，如图２所示。设圆心Ｏ坐标为（Ｘｏ，Ｙｏ），可得到点Ｏ坐标的式为：ＹＯ＝Ｒ＋２４ｌ２０Ｒ－２６８８ｌ４０Ｒ３＝Ｒ＋ｐ．烎烍（３）ＸＯ＝ｌ２０－２４０ｌ３０Ｒ２＝ｍ，烌式中：ｍ为缓和曲线的切垂距；ｌ０为缓和曲线总长度；ｐ为圆曲线内移量；Ｒ为半径。计算圆心Ｏ与点Ｐ的方位角后，得到点Ｐ所对应的切线角θ，如果θ大于缓和曲线的切线角β０，则说明点Ｐ在圆曲线区域内，否则点Ｐ在缓和曲线内。若点Ｐ在圆曲线区域内，由圆弧的弧长公式可知，从直缓点到点Ｐ０的曲线长ｌ式为：ｌ＝ｌ０＋（θ－β０）×Ｒ．（４）得到点Ｐ０的坐标（Ｘｐ０，Ｙｐ０），其式为：Ｘｐ０＝Ｒｓｉｎ（ｌ－Ｒｌ０＋β０）＋ｍ，烌烍（５）Ｙｐ０＝Ｒ（１－ｃｏｓ（ｌ－Ｒｌ０＋β０））＋ｐ．点Ｐ的水平偏差ｄ为点Ｐ与Ｐ０之间的距离与偏移量Ｍｖ之差。点Ｐ的对应里程ｋ为点Ｐ０里程。

2.4姿态测量点在缓和曲线段水平偏差及里程的
计算方法若任意点Ｐ在缓和曲线区域内，如图２所示。可以查得缓和曲线关于ｘ，ｙ的方程式，函数ｆ（ｘ，ｙ）的参数方程为：ｘ＝ｌ－４０ｌＲ５２ｌ２０＋３４５６ｌ９Ｒ４ｌ４０，烌ｙ＝６ｌＲｌ３０－３３６ｌＲ７３ｌ３０．烎烍（６）式中：ｌ为缓和曲线上任意一点到直缓点的曲线长。则点Ｐ（Ｘｐ，Ｙｐ）到缓和曲线上任意一点距离的平方，可以表示为：Ｄ＝（ｌ－４０ｌＲ５２ｌ２０＋３４５６ｌ９Ｒ４ｌ４０－ｘｐ）２＋（ｌ３－３３６ｌＲ７３ｌ３０－ｙｐ）２．６Ｒｌ０（７关于ｌ一阶导数为：１５Ｒ２ｌ２０＋４８ｌ６Ｒｙ３ｐｌ３０－３８４ｌ８ｘＲｐ４ｌ４０＋９４５ｌＲ９４ｌ４０ｌ．（８５Ｄｌ＝ｌ－ｘｐ－ｌ２２Ｒｌｙｐ０＋８ｌＲ４ｘ２ｌｐ２０－对ｌ进行求导：Ｄｌｌ＝１－ｌＲｌｙｐ０＋２ｌＲ３ｘ２ｌｐ２０－３Ｒ２ｌ２０＋８ｌＲ５ｙ３ｌｐ３０－４８ｌ７Ｒｘ４ｌｐ４０＋１０５ｌＲ８４ｌ４０ｌ．（９４点Ｐ在缓和曲线附近，一般有ｙＲｐ＜１２，ｘＲｐ＜１且在ｌ∈［０，ｌ０］，Ｄｌｌ＞０。在ｌ∈［０，ｌ０］，有Ｄｌ（０）＝－ｘｐ＜０，Ｄｌ（ｌ０）＞０，因此一定存在ｌ∈［０，ｌ０］使得Ｄｌ＝０成立。且Ｄｌ＝０在ｌ∈［０，ｌ０］时有且只有一个解。由于Ｄｌ＝０是关于参数ｌ的高次方程，采用Ｎｅｗｔｏｎ法对方程进行求解，Ｎｅｗｔｏｎ迭代函数ｘｉ＋１＝ｘ－ｆｆ′（（ｘｘ）），ｌｉ＋１＝ｘｉ＋１，ｌｉ＝ｘｉ，ｆ（ｘ）＝Ｄｌ，ｆ（ｘ）＝Ｄｌｌ，当｜ｌｉ＋１－ｌｉ｜＜ξ，即第ｉ＋１次与第ｉ次的差值小于给定的限差时，停止迭代。ｌ直缓点到点Ｐ０之间的曲线长度，则姿态测点Ｐ的对应里程ｋ为直缓点里程与ｌ之和，然后将ｌ代入式（６），得到点Ｐ０的坐标，进而得到点Ｐ与点Ｐ０的距离，即得到点Ｐ对应的水平偏差。
３工程应用
为验证本文推导管片姿态测量点对应水平偏差与里程计算式的正确性与可行性，选取成都市在建地铁盾构区间的实测管片姿态数据进行分析该盾构区间平面线形的部分线路设计文件如表１所示，该段的断链情况为短链：Ｋ３５＋４９７．４２５＝Ｋ３５＋５００．０００－２．５７５ｍ。根据上文所述的数学模型进行程序的编写及自动计算，传统方法采用准确可靠的Ａｕｔｏｃａｄ与Ｅｘｃｅｌ人工量算方法，两种方法的对比结果如表２所示。从表２中计算结果可以看出，计算得到的管片姿态测量点在直线段、圆曲线段及缓和曲线段的水平偏差与传统方法比较，计算结果是一致的，验证数据模型的正确性，可应用于测量点水平偏差的批量计算。

４结束语

1）结合线路设计文件，可将管片姿态测量点的自动定位并完成对应里程及水平偏差的计算，并通过隧线中线偏差、长短链等信息完成姿态测量点的偏差与里程的改正。
２）对管片姿态测量点在直线段、圆曲线段及缓和曲线段水平偏差计算的数学模型进行推导，结合算例，验证其数学模型的正确性。
３）该方法可准确、高效地完成管片姿态的水平偏差的计算，同时可拓展应用于地铁盾构断面测量的批量计算。
参考文献：中国知网

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